拉格朗日中值定理，又称拉氏定理或有限增量定理，是微分学中的基本定理之一。它描述了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率之间的关系。定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在开区间(a, b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。
拉格朗日中值定理在数学分析中占据重要地位，它不仅揭示了函数的连续性和可导性条件下的平均值与导数之间的关系，而且在研究函数的单调性、凹凸性以及不等式的证明等方面都有广泛应用。1797年，法国数学家约瑟夫·拉格朗日在《解析函数论》中首次提出该定理，并提供了最初的证明。现代形式的拉格朗日中值定理由法国数学家O.博内提出。
拉格朗日中值定理的一个重要应用是在证明导数极限定理、求函数极限问题、证明不等式以及证明函数单调性方面。例如，在研究函数在某一区间内的行为时，拉格朗日中值定理可以帮助我们理解函数在该区间内某一点的变化情况，从而对整个函数的性质有更深入的认识。
拉格朗日中值定理是高等数学中的一个核心工具，对于理解和分析可导函数的性质具有重要作用。